sábado, 21 de julio de 2018

LAS PECULIARES MATEMÁTICAS QUE PODRÍAN SUBYACER EN LAS LEYES DE LA NATURALEZA


Nuevos hallazgos están alimentando una vieja sospecha de que las partículas y fuerzas fundamentales surgen de números extraños de ocho partes llamados "octonions".

Cohl Furey, física matemática de la Universidad de Cambridge, está encontrando vínculos entre el Modelo Estándar de la Física de Partículas y los octoniones, números cuyas reglas de multiplicación están codificadas en un diagrama triangular llamado Fano Plano.

En 2014, una estudiante graduada, de la Universidad de Waterloo, Canadá, llamada Cohl Furey, alquiló un automóvil y condujo seis horas hacia el sur hasta la Universidad Estatal de Pensilvania, ansiosa por hablar con un profesor de física llamado Murat Günaydin .
Furey había descubierto cómo construir sobre un hallazgo de Günaydin de 40 años antes, un resultado en gran parte olvidado que respaldaba una poderosa sospecha sobre la física fundamental y su relación con la matemática pura.

La sospecha, albergada por muchos físicos y matemáticos a lo largo de décadas pero que rara vez se persigue activamente, es que la peculiar panoplia de fuerzas y partículas que comprende la realidad surge lógicamente de las propiedades de los números octo-dimensionales llamados "octonions".

A medida que avanzan los números, los números reales familiares, los que se encuentran en la recta numérica, como 1, π y -83.777, simplemente ponen en marcha las cosas. Los números reales se pueden emparejar de una manera particular para formar "números complejos", estudiados por primera vez en el siglo XVI en Italia, que se comportan como coordenadas en un plano 2-D. Sumar, restar, multiplicar y dividir es como trasladar y girar posiciones alrededor del plano.

Números complejos, adecuadamente emparejados, forman "cuaterniones" 4-D, descubiertos en 1843 por el matemático irlandés William Rowan Hamilton, quien en el acto cincelado extáticamente la fórmula en el Puente Broome de Dublín. John Graves, un abogado amigo de Hamilton, posteriormente mostró que los pares de cuaterniones hacen octoniones: números que definen las coordenadas en un espacio abstracto en 8-D.

Allí el juego se detiene. En 1898 apareció la prueba de que los reales, los números complejos, los cuaterniones y los octoniones son los únicos tipos de números que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. 
Las primeras tres de estas "álgebras de división" pronto sentarán las bases matemáticas para la física del siglo XX, con números reales que aparecen omnipresentemente, números complejos que proporcionan la matemática de la mecánica cuántica y cuaterniones subyacentes a la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein. Esto ha llevado a muchos investigadores a preguntarse sobre el último y menos conocida álgebra de división. ¿Podrían los octonions tener los secretos del universo?

"Los octonions son para la física lo que las Sirenas fueron para Ulysses", dijo Pierre Ramond , físico de partículas y teórico de cuerdas de la Universidad de Florida, en un correo electrónico.
Günaydin, el profesor de Penn State, era un estudiante graduado en Yale en 1973 cuando él y su asesor Feza Gürsey encontraron un enlace sorprendente entre los octonions y la fuerza fuerte, que une a los quarks dentro de los núcleos atómicos. Una ráfaga inicial de interés en el hallazgo no duró. Todo el mundo en ese momento estaba desconcertado sobre el Modelo Estándar de la Física de Partículas: el conjunto de ecuaciones que describen las partículas elementales conocidas y sus interacciones a través de las fuerzas fuertes, débiles y electromagnéticas (todas las fuerzas fundamentales excepto la gravedad). Pero en lugar de buscar respuestas matemáticas a los misterios del Modelo Estándar, la mayoría de los físicos depositaron sus esperanzas en los colisionadores de partículas de altas energía y otros experimentos, esperando que aparezcan partículas adicionales y lleven el camino más allá del Modelo Estándar a una descripción más profunda de la realidad. "Imaginaron que el siguiente progreso vendría de algunas piezas nuevas que se dejan caer sobre la mesa”, dice  Latham Boyle , físico teórico en el Instituto Perimeter de Física Teórica en Waterloo, Canadá.
Décadas después, no se encontraron partículas más allá de las del Modelo Estándar. Mientras tanto, la extraña belleza de los octonions ha seguido atrayendo a investigadores ocasionales e independientes, incluida Furey, la estudiante canadiense que visitó Günaydin hace cuatro años. Luciendo como una viajera interplanetario, con agitados flequillos plateados que se estrechan hasta un punto entre penetrantes ojos azules, Furey garabateó símbolos esotéricos en una pizarra, tratando de explicarle a Günaydin que había extendido su trabajo y el de Gürsey construyendo un modelo octoniónico de las dos fuertes y fuerzas electromagnéticas.
"Comunicarle los detalles resultó ser un desafío un poco más de lo que había anticipado, ya que me costó trabajo hablar en términos generales", recordó Furey. Günaydin continuó estudiando los octonios desde los años 70 a través de sus profundas conexiones con la teoría de cuerdas, la teoría M y las teorías relacionadas con la supergravedad que intentan unificar la gravedad con las otras fuerzas fundamentales. Pero sus búsquedas octoniónicas siempre habían estado fuera de la corriente principal. Le aconsejó a Furey que buscara otro proyecto de investigación para su doctorado, ya que los octonions podrían cerrarle las puertas, ya que él sentía que eran para él.


Furey posando para un retrato en los terrenos de Trinity Hall, Cambridge, donde a menudo trabaja en una estera de yoga. Susannah Ireland  para Quanta Magazine

Pero Furey no se dio por vencida. Impulsada por una profunda intuición de que los octonions y otras álgebras de división subyacen a las leyes de la naturaleza, le dijo a un colega que, si no encontraba trabajo en la academia, planeaba llevar su acordeón a Nueva Orleans y recorrer las calles para apoyar su hábito de física.
Pero en cambio, Furey consiguió un postdoc en la Universidad de Cambridge en el Reino Unido. Desde entonces, ha producido una serie de resultados que conectan los octonions con el Modelo Estándar que los expertos llaman intrigante, curioso, elegante y novedoso. "Ella ha dado pasos significativos para resolver algunos rompecabezas físicos realmente profundos", dijo Shadi Tahvildar-Zadeh , físico matemático de la Universidad de Rutgers, quien recientemente visitó a Furey en Cambridge después de veuna serie de videos en línea; que ella hizo sobre su trabajo.
Furey aún tiene que construir un modelo octoniónico simple de todas las partículas y fuerzas del Modelo Estándar de una vez, y ella no ha tocado la gravedad. Ella enfatiza que las posibilidades matemáticas son muchas, y los expertos dicen que es demasiado pronto para decir qué forma de amalgamar los octonions y otras álgebras de división (si las hay) la  llevará al éxito.
"Ha encontrado algunos enlaces intrigantes", dijo Michael Duff , un teórico de cuerdas pionero y profesor en el Imperial College de Londres, que ha estudiado el papel de octonions en la teoría de cuerdas. "Desde luego, vale la pena perseguirlo. Si finalmente será la forma en que se describe el Modelo Estándar, es difícil de decir. Si lo fuera, calificaría para todos los superlativos: revolucionarios, y así sucesivamente ".
Números peculiares
Conocí a Furey en junio, en la cabaña del portero a través de la cual uno entra al Trinity Hall en la orilla del río Cam. Menuda, musculosa y vistiendo una camiseta negra sin mangas (que revelaba hematomas de artes marciales mixtas), jeans enrollados, calcetines con alienígenas de dibujos animados y zapatillas de deporte de zapatos vegetarianos, en persona era más de Vancouver que la figura de otro mundo en sus videos de conferencias. Paseamos por el césped de la universidad, agachándonos por las puertas medievales para entrar y salir del cálido sol. En un día diferente, podría haberla visto haciendo física en una estera de yoga púrpura sobre la hierba.
Furey, quien tiene 39 años, dijo que primero se sintió atraída por la física en un momento específico de la escuela secundaria, en Columbia Británica. Su maestra le dijo a la clase que solo cuatro fuerzas fundamentales subyacen a la complejidad del mundo y, además, que los físicos desde la década de 1970 habían intentado unificarlos a todos en una estructura teórica única. "Eso fue lo más hermoso que he escuchado", me dijo, con los ojos acerados. Ella tuvo una sensación similar unos años más tarde, como estudiante en la Universidad Simon Fraser en Vancouver, al enterarse de las cuatro álgebras de división. Uno de esos sistemas numéricos, o infinitamente muchos, parecería razonable. "¿Pero cuatro?", Recuerda pensar. "Qué peculiar".

Después de los descansos de la escuela, pasó al esquí, trabajando en el extranjero y entrenando intensamente como un artista de artes marciales mixtas, Furey más tarde se encontró con las álgebras de la división en un curso de geometría avanzada y aprendió cuán peculiares se vuelven en cuatro golpes. 
Cuando duplicas las dimensiones con cada paso a medida que pasas de números reales a números complejos a cuaterniones a octonions, explicó: "en cada paso pierdes una propiedad". Los números reales se pueden pedir desde el más pequeño al más grande, por ejemplo, "mientras que en el plano complejo no existe tal concepto". Luego, los cuaterniones pierden conmutatividad; para ellos, a × b no es igual a b × a. Esto tiene sentido, ya que multiplicar números de mayor dimensión implica rotación, y cuando cambia el orden de rotaciones en más de dos dimensiones, termina en un lugar diferente.
Mucho más extraño, los octonions son no asociativos, significado (a × b) × c no es igual a × (b × c). "Los matemáticos no gustan mucho de las cosas asociativas", dijoJohn Baez, físico matemático de la Universidad de California, Riverside, y experto en octonions. "Porque, aunque es muy fácil imaginar situaciones no conmutativas: calzarse los calcetines es diferente de los calcetines y los zapatos, es muy difícil pensar en una situación no asociativa". Si, en lugar de ponerte calcetines y luego zapatos, primero pones tus calcetines en sus zapatos, técnicamente aún debería ser capaz de poner los pies en ambos y obtener el mismo resultado. "Los paréntesis se sienten artificiales".
La no asociatividad aparentemente no física de los octonions ha paralizado los esfuerzos de muchos físicos para explotarlos, pero Báez explicó que su matemática peculiar también ha sido siempre su principal atractivo. La naturaleza, con sus cuatro fuerzas batallando alrededor de unas pocas docenas de partículas y antipartículas, es en sí misma peculiar. El Modelo Estándar es "peculiar e idiosincrásico", dijo.
En el Modelo Estándar, las partículas elementales son manifestaciones de tres "grupos de simetría", esencialmente, formas de intercambiar subconjuntos de las partículas que no cambian las ecuaciones. Estos tres grupos de simetría, SU (3), SU (2) y U (1), corresponden a las fuerzas fuerte, débil y electromagnética, respectivamente, y "actúan" sobre seis tipos de quarks, dos tipos de leptones, más sus antipartículas, con cada tipo de partícula en tres copias, o "generaciones", que son idénticas, excepto por sus masas. (La cuarta fuerza fundamental, la gravedad, se describe por separado, e incompatiblemente, por la teoría de la relatividad general de Einstein, que la presenta como curvas en la geometría del espacio-tiempo).
Los conjuntos de partículas manifiestan las simetrías del Modelo Estándar de la misma manera que deben existir cuatro esquinas de un cuadrado para realizar una simetría de rotaciones de 90 grados. La pregunta es, ¿por qué este grupo de simetría - SU (3) × SU (2) × U (1)? ¿Y por qué esta particular representación de partículas, con el divertido surtido de cargas de las partículas observadas, la curiosa destreza y la redundancia de tres generaciones? La actitud convencional hacia tales preguntas ha sido tratar el Modelo Estándar como una pieza fragmentada de una estructura teórica más completa . Pero una tendencia competitiva es tratar de usar los octonions y "obtener la rareza de las leyes de la lógica de alguna manera", dijo Baez.
Furey comenzó a perseguir seriamente esta posibilidad en la escuela de posgrado, cuando descubrió que los cuaterniones capturan la forma en que las partículas se traducen y rotan en el espacio-tiempo 4-D. Se preguntó sobre las propiedades internas de las partículas, como su carga. "Me di cuenta de que los ocho grados de libertad de los octonions podían corresponder a una generación de partículas: un neutrino, un electrón, tres quarks y tres quarks hacia abajo", dijo, un poco de numerología que había provocado ceño. Las coincidencias han proliferado desde entonces. "Si este proyecto de investigación fuera un misterio de asesinato", dijo, "diría que todavía estamos en el proceso de recopilar pistas".
El álgebra de Dixon
Para reconstruir la física de partículas, Furey usa el producto de las cuatro álgebras de división, RCHORpara reales, C para números complejos, H para cuaterniones y O para octonions) - a veces llamado el álgebra de Dixon, después de Geoffrey Dixon, un físico que primero tomó esta táctica en los años 1970 y '80 antes de no conseguir un trabajo de la facultad y abandonar el campo. (Dixon me envió un pasaje de sus memorias: "Lo que tenía era una intuición fuera de control de que estas álgebras eran clave para comprender la física de partículas, y estaba dispuesto a seguir esta intuición desde un acantilado si fuera necesario. Algunos podrían decir Yo sí.")

Mientras que Dixon y otros procedieron mezclando las álgebras de división con maquinaria matemática extra, Furey se restringe a sí misma; en su esquema, las álgebras "actúan sobre sí mismas". Combinado como RCHO, los cuatro sistemas numéricos forman un espacio abstracto de 64 dimensiones. Dentro de este espacio, en el modelo de Furey, las partículas son "ideales" matemáticos: elementos de un subespacio que, cuando se multiplican por otros elementos, permanecen en ese subespacio, permitiendo que las partículas permanezcan como partículas mientras se mueven, rotan, interactúan y se transforman. La idea es que estos ideales matemáticos son las partículas de la naturaleza y manifiestan las simetrías de RCHO.

Como Dixon sabía, el álgebra se divide limpiamente en dos partes: CHCO, los productos de números complejos con cuaterniones y octoniones, respectivamente (los números reales son triviales).
En el modelo de Furey, las simetrías asociadas con la forma en que las partículas se mueven y rotan en el espacio-tiempo, juntas conocidas como el grupo de Lorentz, surgen del cuaterniónico CH parte del álgebra El grupo de simetría SU (3) × SU (2) × U (1), asociado con las propiedades internas de las partículas y las interacciones mutuas a través de las fuerzas fuertes, débiles y electromagnéticas, proviene de la parte octoniónica, CO.
Günaydin y Gürsey, en sus primeros trabajos, ya encontraron SU (3) dentro de los octonions. Considere el conjunto base de octonions, 1, e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 y e 7 , que son distancias unitarias en ocho direcciones ortogonales diferentes: respetan un grupo de simetrías llamado G2, que pasa a ser uno de los raros "grupos excepcionales" que no se pueden clasificar matemáticamente en otras familias de grupos de simetría existentes. La conexión íntima de los octonions con todos los grupos excepcionales y otros objetos matemáticos especiales ha aumentado la creencia en su importancia, convenciendo al eminente medallista de Fields y al matemático ganador del Premio Abel.Michael Atiyah , por ejemplo, que la teoría final de la naturaleza debe ser octoniónica. "La teoría real a la que nos gustaría llegar", dijoen 2010, "debería incluir la gravedad con todas estas teorías de tal manera que la gravedad se vea como una consecuencia de los octonions y los grupos excepcionales". Añadió: "Va a ser difícil porque sabemos que los octonions son difíciles, pero cuando lo hayas encontrado, debería ser una teoría hermosa, y debería ser única".
Mantener e7 constante mientras se transforman las otras unidades de octonions reduce sus simetrías al grupo SU (3). Günaydin y Gürsey utilizaron este hecho para construir un modelo octoniónico de la fuerza poderosa que actúa sobre una sola generación de quarks.



Revista Lucy Reading-Ikkanda / Quanta

Furey ha ido más allá. En su trabajo publicado más reciente, que apareció en mayo en The European Physical Journal C , consolidó varios hallazgos para construir el grupo de simetría completo del Modelo Estándar, SU (3) × SU (2) × U (1), para una sola generación de partículas, con las matemáticas produciendo la matriz correcta de cargas eléctricas y otros atributos para un electrón, neutrinos, tres quarks ascendentes, tres quarks descendentes y sus antipartículas. Las matemáticas también sugieren una razón por la cual la carga eléctrica se cuantifica en unidades discretas, esencialmente, porque los números enteros son.

Sin embargo, en la forma de organizar partículas de ese modelo, no está claro cómo extender naturalmente el modelo para cubrir las tres generaciones completas de partículas que existen en la naturaleza. Pero en otro nuevo documento que ahora circula entre expertos y está siendo revisado por Physical Letters B , Furey usa COpara construir dos simetrías ininterrumpidas del Modelo Estándar, SU (3) y U (1). (En la naturaleza, SU (2) × U (1) se descompone en U (1) por el mecanismo de Higgs, un proceso que imbuye partículas con masa.) En este caso, las simetrías actúan en las tres generaciones de partículas y también permiten por la existencia de partículas llamadas neutrinos estériles, candidatos a la materia oscura que los físicos están buscando activamente ahora. "El modelo de tres generaciones solo tiene SU (3) × U (1), por lo que es más rudimentario", me dijo Furey, con la pluma posada en una pizarra blanca. "La pregunta es, ¿hay una manera obvia de pasar de la imagen de una generación a la imagen de tres generaciones? Creo que hay ".

Esta es la pregunta principal que ella está buscando ahora. Los físicos matemáticos Michel Dubois-Violette , Ivan Todorov y Svetla Drenska también están tratando de modelar las tres generaciones de partículas usando una estructura que incorpora octoniones llamada el excepcional álgebra de Jordan. Después de años trabajando solo, Furey está empezando a colaborar con investigadores que adoptan diferentes enfoques, pero ella prefiere quedarse con el producto de las álgebras de cuatro divisiones, RCHO, actuando sobre sí mismo. 
Es lo suficientemente complicado y proporciona flexibilidad en las muchas formas en que se puede fragmentar. El objetivo de Furey es encontrar el modelo que, en retrospectiva, se sienta inevitable y que incluya la masa, el mecanismo de Higgs, la gravedad y el espacio-tiempo.

Ya existe una sensación de espacio-tiempo en las matemáticas. Ella encuentra que todas las cadenas multiplicativas de elementos de RCHOpuede ser generado por 10 matrices llamadas "generadores". Nueve de los generadores actúan como dimensiones espaciales, y el 10, que tiene el signo opuesto, se comporta como el tiempo. La teoría de cuerdas también predice 10 dimensiones espacio-temporales, y los octonions también están involucrados allí. Si la manera en que el trabajo de Furey se conecta con la teoría de cuerdas queda por desconcertar.
Entonces su futuro Ella está buscando un trabajo de la facultad ahora, pero en su defecto, siempre hay pistas de esquí o el acordeón. "Los acordeones son los octonions del mundo de la música", dijo, "trágicamente incomprendida". Añadió: "Incluso si persiguiera eso, siempre estaría trabajando en este proyecto".
La teoría final
Furey en su mayoría se opuso a mis preguntas más filosóficas sobre la relación entre la física y las matemáticas, como si, en el fondo, son una y la misma. Pero le fascina el misterio de por qué la propiedad de la división es tan importante. Ella también tiene una corazonada, que refleja una alergia común al infinito, que R C H O es en realidad una aproximación que será reemplazada, en la teoría final, por otro sistema matemático relacionado que no involucra el continuo infinito de números reales.

Eso es solo hablar de intuición. Pero con el modelo estándar pasando las pruebas a la perfección asombrosa, y sin nuevas partículas iluminadoras que se materialicen en el Gran Colisionador de Hadrones en Europa, una nueva sensación está en el aire, inquietante y emocionante, dando paso a pizarras blancas y pizarras. 
Existe la sensación creciente de que "quizás todavía no hayamos terminado el proceso de ajustar las piezas actuales", dijo Boyle, del Instituto Perimeter. Califica esta posibilidad de "más prometedora de lo que mucha gente cree", y dijo que "merece más atención de la que recibe actualmente, así que estoy muy contento de que algunas personas como Cohl lo estén persiguiendo seriamente".

Boyle no ha escrito sobre la posible relación del modelo estándar con los octonions. Pero como tantos otros, admite haber escuchado su canción de sirena. "Comparto la esperanza", dijo, "e incluso la sospecha de que los octonions pueden terminar desempeñando un papel, de alguna manera, en la física fundamental, ya que son muy bellos".
Fuente: QUANTA Magazine Natalie Wolchover Editora / Escritora Senior- 20. Julio.2018


Traducción libre de Soca



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